TEORIA DE COJUNTOS
La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos de aquella. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.
LOGICA MATEMATICA
La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal o logística, es el estudio matemático de la lógica y su aplicación a otras áreas de la matemática y la ciencia. Comprende la aplicación de las técnicas de la lógica formal a las matemáticas y el razonamiento matemático, y conversamente la aplicación de técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel crucial en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática estudia la inferencia mediante la construcción de sistemas formales como la lógica proposicional, la lógica de primer orden o la lógica modal. Estos sistemas capturan las características esenciales de las inferencias válidas en los lenguajes naturales, pero al ser estructuras formales susceptibles de análisis matemático, permiten realizar demostraciones rigurosas sobre ellas.
La lógica matemática se suele dividir en cuatro áreas: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la computabilidad. La teoría de la demostración y la teoría de modelos fueron el fundamento de la lógica matemática. La teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg Cantor y ha sido la fuente de muchos de los temas más desafiantes e importantes de la lógica matemática, a partir del teorema de Cantor, el axioma de elección y la cuestión de la independencia de la hipótesis del continuo, al debate moderno sobre grandes axiomas cardinales. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación. La teoría de la computabilidad captura la idea de la computación en términos lógicos y aritméticos. Sus logros más clásicos son la indecidibilidad del Entscheidungsproblem de Alan Turing y su presentación de la tesis de Church-Turing. Hoy en día, la teoría de la computabilidad se ocupa principalmente del problema más refinado de las clases de complejidad (¿cuándo es un problema eficientemente solucionable?) y de la clasificación de los grados de insolubilidad.
ALGEBRA BOOLEANA
Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto, The Mathematical Analysis of Logic,1 publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y sir William Rowan Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde fue extendido como un libro más importante: An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (también conocido como An Investigation of the Laws of Thought 2 o simplemente The Laws of Thought3), publicado en 1854.
viernes, 12 de abril de 2019
OPERACIONES Y LEYES DE CONJUNTOS
UNION
En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales. ... La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I.
INTERSECCION
En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida.
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal.
LEY DISTRIBUTIVA
La Propiedad Distributiva en la Unión de Conjuntos es una Ley matemática que se da en esta operación del Álgebra de Conjuntos en referencia a otra operación, conocida como Intersección, indicando básicamente que la unión de un conjunto A con la intersección de los conjuntos B y C puede ser igual a la intersección de las respectivas uniones del conjunto A con los conjuntos B y C, lo cual puede resumirse con la expresión matemática: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
LEY DE MORGAN
En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación.
Las reglas se pueden expresar en español como:
La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones. La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.
o informalmente como:
"no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"
y también,
"no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"
Las reglas pueden ser expresadas en lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma:
¬ ( P ∧ Q ) ⟺ ( ¬ P ) ∨ ( ¬ Q ) ¬ ( P ∨ Q ) ⟺ ( ¬ P ) ∧ ( ¬ Q ) donde:
¬ es el operador de negación (NO) ∧ {\displaystyle \land } \land es el operador de conjunción (Y) ∨ {\displaystyle \lor } \lor es el operador de disyunción (O) ⇔ es un símbolo metalógico que significa "puede ser reemplazado en una prueba lógica"
Entre la aplicaciones de las normas se incluyen la simplificación de expresiones lógicas en programas de computación y diseño de circuitos digitales. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de concepto más general de dualidad matemática.
DIFERENCIA
En teoría de conjuntos, la diferencia de dos conjuntos es una operación que da como resultado otro conjunto con los elementos del primer conjunto sin los elementos del segundo conjunto. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los números naturales N {\displaystyle \mathbb {N} } \mathbb{N} y el conjunto de los números pares P es el conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares I {\displaystyle I} I:
N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 … } P = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 … } I = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 … }
Como no hay ningún número par que no sea un número natural, la diferencia P menos N no tiene ningún elemento, por lo que es el conjunto vacío. La diferencia entre dos conjuntos A y B se denota por A \ B o A − B, por lo que: N \ P = I, y también P − N = ∅.
DIFERENCIA SINETRICA
En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados perfectos C es un conjunto D que contiene los cuadrados impares y los pares no cuadrados:
P = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , … } C = { 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , … } D = { 1 , 2 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , 18 , … } }
La diferencia simétrica de conjuntos se denota por Δ, por lo que P Δ C = D.
En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales. ... La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I.
INTERSECCION
En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida.
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal.
LEY DISTRIBUTIVA
La Propiedad Distributiva en la Unión de Conjuntos es una Ley matemática que se da en esta operación del Álgebra de Conjuntos en referencia a otra operación, conocida como Intersección, indicando básicamente que la unión de un conjunto A con la intersección de los conjuntos B y C puede ser igual a la intersección de las respectivas uniones del conjunto A con los conjuntos B y C, lo cual puede resumirse con la expresión matemática: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
LEY DE MORGAN
En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación.
Las reglas se pueden expresar en español como:
La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones. La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.
o informalmente como:
"no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"
y también,
"no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"
Las reglas pueden ser expresadas en lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma:
¬ ( P ∧ Q ) ⟺ ( ¬ P ) ∨ ( ¬ Q ) ¬ ( P ∨ Q ) ⟺ ( ¬ P ) ∧ ( ¬ Q ) donde:
¬ es el operador de negación (NO) ∧ {\displaystyle \land } \land es el operador de conjunción (Y) ∨ {\displaystyle \lor } \lor es el operador de disyunción (O) ⇔ es un símbolo metalógico que significa "puede ser reemplazado en una prueba lógica"
Entre la aplicaciones de las normas se incluyen la simplificación de expresiones lógicas en programas de computación y diseño de circuitos digitales. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de concepto más general de dualidad matemática.
DIFERENCIA
En teoría de conjuntos, la diferencia de dos conjuntos es una operación que da como resultado otro conjunto con los elementos del primer conjunto sin los elementos del segundo conjunto. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los números naturales N {\displaystyle \mathbb {N} } \mathbb{N} y el conjunto de los números pares P es el conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares I {\displaystyle I} I:
N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 … } P = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 … } I = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 … }
Como no hay ningún número par que no sea un número natural, la diferencia P menos N no tiene ningún elemento, por lo que es el conjunto vacío. La diferencia entre dos conjuntos A y B se denota por A \ B o A − B, por lo que: N \ P = I, y también P − N = ∅.
DIFERENCIA SINETRICA
En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados perfectos C es un conjunto D que contiene los cuadrados impares y los pares no cuadrados:
P = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , … } C = { 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , … } D = { 1 , 2 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , 18 , … } }
La diferencia simétrica de conjuntos se denota por Δ, por lo que P Δ C = D.
"CONJUNTO Y SUBCONJUNTO"
Muy buenas hoy les enseño el como podemos apoyarnos atravez de un nuevo trbaajo en el cual nod damos a entender sobre conjuntos y subconjuntos bueno ahorita veremos de que tratan
"CONJUNTO" es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. .
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
Dentro de la teoría se consideran como primitivos o términos no definidos los conjuntos y los elementos. En general, se designan los conjuntos usando letras latinas mayúsculas y los elementos con letras minúsculas. Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos.
"SUBCONJUNTO"
Es cierto que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema: Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.
Así, dados dos conjuntos A ⊆ B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B. Por otro lado, es posible también que A contenga algunos pero no todos los elementos de B:
Sea A un subconjunto de B tal que A ≠ B. Entonces se dice que A es un subconjunto propio de B, y se denota por A ⊊ B. (A su vez, se dice que B es un superconjunto propio de A, B ⊋ A) Es verdadero que todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios. También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ B y B ⊋ A.
"CONJUNTO" es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. .
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
Dentro de la teoría se consideran como primitivos o términos no definidos los conjuntos y los elementos. En general, se designan los conjuntos usando letras latinas mayúsculas y los elementos con letras minúsculas. Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos.
"SUBCONJUNTO"
Es cierto que cada elemento de un conjunto A es un elemento de A (es una afirmación tautológica). Por tanto se tiene el siguiente teorema: Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo.
Así, dados dos conjuntos A ⊆ B, cabe la posibilidad de que sean iguales, A = B. Por otro lado, es posible también que A contenga algunos pero no todos los elementos de B:
Sea A un subconjunto de B tal que A ≠ B. Entonces se dice que A es un subconjunto propio de B, y se denota por A ⊊ B. (A su vez, se dice que B es un superconjunto propio de A, B ⊋ A) Es verdadero que todos los ejemplos de subconjunto mostrados arriba son de hecho subconjuntos propios. También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ B y B ⊋ A.
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